Modelo teórico para uma queda
Para avaliarmos teoricamente uma
queda de guia, vamos adotar as seguintes hipóteses:
1 – A queda é perfeitamente vertical, ou seja, o guia está exatamente sobre a última proteção que ele colocou.
2 – O guia cai sem bater na
pedra, de modo que toda a energia gerada será dissipada apenas no sistema
de segurança.
Seja então L o comprimento total
de corda que vai desde o aparelho gerador de atrito do participante até
o nó de encordamento no baudrier do guia, e seja H a distância do nó de
encordamento do guia até a última proteção colocada na rocha.
A corda será modelada como uma mola, cujas características dependem do seu comprimento. Em geral, uma mola apresenta uma comportamento tal que a força que ela exerce é diretamente proporcional ao deslocamento de seu ponto de equilíbrio. Isto pode ser descrito matematicamente pela equação F = -c.D x, onde F é a força que a mola exerce, c é a constante de proporcionalidade e D x é o deslocamento. O símbolo D é usado geralmente quando queremos expressar uma variação de uma grandeza. Observe que o sinal negativo significa que a força tem sempre direção oposta ao deslocamento. O valor de c nos dá a idéia da "dureza" de uma mola em relação a outra. No caso de uma corda, este valor depende do comprimento de corda que está sendo usado como mola. Podemos observar na prática que quando exercemos uma determinada força sobre a corda (por exemplo, o peso de um participante), o deslocamento obtido é maior quando o comprimento de corda é maior. Pode-se mostrar matematicamente que a relação que exprime o valor de c numa tal corda é c = K / L, onde K é uma constante que depende apenas da corda utilizada (marca, modelo, etc.).
Em física, a palavra energia tem um sentido bem definido, diferentemente do sentido esotérico usualmente atribuído a esta palavra, e usaremos o princípio da conservação da energia no sentido físico para realizarmos as contas.
A energia pode ser dividida em dois tipos: potencial e cinética. A energia cinética é aquela relacionada com a velocidade de um corpo. A energia potencial é a quantidade de energia que um corpo tem que pode ser transformada em energia cinética ou em calor. No nosso caso, temos dois tipos de energia potencial. A energia potencial gravitacional, que decorre do fato de o escalador estar a uma certa altura da base da escalada. Na base considera-se que a energia potencial gravitacional é zero (do chão não passa). O segundo tipo de energia potencial é a elástica, que é aquela que é armazenada na corda quando a esticamos.
Durante a queda, a energia potencial gravitacional vai sendo transformada progressivamente em energia cinética, até que a corda começa a esticar. A energia cinética adquirida vai sendo então armazenada na corda como energia potencial elástica, até que o corpo em queda pare. Neste momento, toda a energia potencial original estará armazenada na corda e como o alongamento da corda é máximo, a força que ela exercerá sobre o corpo do guia também será máxima. A esta força máxima, damos o nome de Força de Queda. O nome Força de Choque também é usado para representar um valor freqüentemente encontrado nos manuais das cordas, medido no caso de uma queda UIAA, seguindo um certo conjunto de especificações, tais como peso do guia, distância à proteção, etc.
A energia potencial gravitacional
pode ser expressa matematicamente por Epg = m.g.h, onde m é
a massa do corpo, g é a aceleração da gravidade e h é a altura que o corpo
se encontra do chão. No caso da queda do guia, teremos uma variação na
energia potencial expressa por:
Sendo hinicial = h0
+ H e hfinal = h0 - H + D x, onde h0 é a altura da última
proteção. Lembre-se que no nosso sistema de referência D x é um valor negativo.
Note que (2H - D x) é a variação de altura do guia na queda. Para simplificar os cálculos, vamos considerar a variação de altura apenas como 2H, supondo que o deslocamento D x devido a elasticidade da corda é bem menor que a distância que o guia caiu.
A variação de energia potencial elástica
por sua vez é expressa como:
Se o guia cair até a corda esticar
e não se espatifar na base, podemos escrever a seguinte equação de conservação
de energia, já simplificada:
Uma das raízes será positiva e a outra negativa. Vamos escolher a raiz negativa pois no nosso sistema de referência D x é negativo.
Como sabemos calcular a força a partir
do deslocamento da corda a partir de F = -K.D x / L, temos que:
Podemos simplificar esta equação
escrevendo P = mg, que é o peso do escalador. Fazendo Q = 2H/L obtemos
um valor conhecido como Fator de Queda, que é muito importante
para a análise da força máxima da queda.
O que nos permite fazer algumas considerações importantes:
1 – A força máxima da queda depende da corda (marca, modelo, tempo de uso e etc). Duas cordas diferentes podem exercer forças diferentes para quedas exatamente iguais.
2 – Esta força é proporcional a raiz quadrada do peso do guia. Quanto mais pesado é o guia, maior é a força exercida pela corda.
3 – A força máxima não depende diretamente da distância que o guia cai, mas sim de uma relação entre esta distância e o comprimento disponível de corda. Ou seja, cair 1 metro de altura com 2 metros de corda até o participante é o mesmo que cair 10 metros com 20 metros de corda, pois em ambos os casos Q = 0,5.
4 – O maior valor que a grandeza Q pode atingir numa escalada do tipo descrito aqui é 2, que corresponde a uma queda em que o guia não colocou nenhuma proteção entre ele e o participante (saída de uma parada).
5 – Ao contrário do que as
pessoas normalmente pensam, o fator de queda 2 não implica em uma força
duas vezes maior que um fator de queda 1. A força é proporcional à raiz
quadrada do fator de queda, o que quer dizer que uma queda de fator 2
produz uma força aproximadamente 41% maior que uma queda de fator 1 (a
raiz quadrada de 2 é cerca de 1,41). Ainda nesta mesma linha de raciocínio,
uma queda de fator 0,5 não produz metade da força, e sim uma força cerca
de 30% menor que uma queda de fator 1.
A equação apresentada acima é um modelo aproximado para a queda do guia, pois não levou em consideração, entre outras coisas, a variação de energia potencial do deslocamento da "mola". Mesmo com estas restrições as equações acima pode ser utilizada para nos dar uma boa idéia quantitativa da força de queda num pior caso.
Pode-se melhorar a aproximação do
modelo resolvendo o problema sem desprezar o termo D x como foi feito anteriormente:
Como o termo dentro da raiz quadrada é sempre maior do que 1, a raiz quadrada também será maior do que 1, o que implica que uma das raízes será positiva e a outra negativa. Vamos escolher a raiz negativa como foi feito anteriormente.
Dependendo do fator de queda e do
peso do escalador, na prática o termo 2.K.Q / P situa-se entre 10 e 100
e deste modo, podemos aproximar a expressão acima para:
Este é o mesmo resultado obtido anteriormente a menos do peso do escalador. Note que a ultima aproximação é melhor para fatores de queda altos.
O modelo poderia ser mais completo ainda se considerasse que a corda é uma mola amortecida, isto é, que uma parte da energia é dissipada em forma de calor.